2024考研数学复习：特征值、特征向量
1.特征值与特征向量的概念
(1)定义：设 为 阶方阵，如果数 和 维非零列向量 满足 ，则称 为 的特征值， 为 的对应于 的特征向量。
(2)特征方程： 称为矩阵 的特征方程， 称为 的特征多项式。
2.特征值与特征向量的计算方法
(1)定义法
(2)特征方程法
①由 求出全部特征值 ( );
②求出每个方程 的基础解系 ( )( );
③线性组合 ( 不同时为0)就是 的对应于 的全部特征向量。
(3)性质法(运用特征值与特征向量的性质)。
3.特征值的性质
(1)和、积性质
① ， 称为 的迹， 是 的全部特征值;
② ;其中 。
【注】 可逆 ( )
不可逆 0是 的特征值。
(2) 与 有相同的特征值。
(3)若 可逆， 是 的特征值，则 分别有特征值 ，且与 有相同的特征向量。
(4)实对称矩阵的特征值为实数。
(5)若 是 的特征值， 是对应的特征向量，则 是 的特征值， 是其对应的特征向量;特别是， 分别有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值为 ，则 的全部特征值为 ，其中 是任意多项式。
4.特征向量的性质
(1)对应于不同特征值的特征向量线性无关;
(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3)若 是对应于同一个特征值 的特征向量，则 也是对应于 的特征向量;
【注】若 是对应于不同特征值 的特征向量，则 必不是特征向量。
(4)若 是 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数不超过 个;
(5)若 是实对称矩阵的 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数有 个。
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标签： 考研数学复习
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